Question

已知函數(shù)f（x）=3x+2--（3a+1）lnx （x＞0，實(shí)數(shù)a為常數(shù)）．
（Ⅰ）a=4時(shí) 求函數(shù)f（x）在（，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）設(shè)，求證：不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|對(duì)于任意不相等的x₁，x₂∈（，a）都成立．

Answer 1

（Ⅰ）解：a=4時(shí)，，…（2分）
令f′（x）＜0，可得x∈（），令f′（x）＞0，由于x＞，可得x∈（4，+∞），
∴f（x）在（）上單調(diào)遞減，在（4，+∞）上單調(diào)遞增 …（4分）
∴在區(qū)間（，+∞）上，當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最小值f（4）=13-26ln2 …（6分）
（Ⅱ）證明：當(dāng)，，∴f（x）在（，a）上單調(diào)遞減，
不妨設(shè)x₁＜x₂，則當(dāng)x₁，x₂∈（，a）時(shí)，f（x₁）＞f（x₂），
故不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|等價(jià)于f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，…（10分）
令函數(shù)g（x）=f（x）+x，則g′（x）=f′（x）+1=
再令h（x）=4x²-（3a+1）x+a，對(duì)稱軸x=＜（由于a＜），
∵h(yuǎn)（）=＞0，h（a）=a²＞0，∴h（x）＞0當(dāng)x∈（，a）時(shí)恒成立，
即g′（x）＞0當(dāng)x∈（，a）時(shí)恒成立，所以g（x）在（，a）上為增函數(shù)，
所以f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，
從而不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|對(duì)于任意不相等的x₁，x₂∈（，a）都成立． …（15分）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最值；
（Ⅱ）先確定f（x）在（，a）上單調(diào)遞減，不妨設(shè)x₁＜x₂，則當(dāng)x₁，x₂∈（，a）時(shí)，f（x₁）＞f（x₂），證明不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|，即證f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．