Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，(e為自然對數(shù)的底數(shù))

（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在上無零點，求a的最小值；

（III）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為

（Ⅱ）若函數(shù)在上無零點，則的最小值為；

（III）當(dāng)時，對任意給定的在上總存在兩個不同的，使成立．

【解析】(I)當(dāng)a=1時，解析式確定直接利用得到函數(shù)f(x)的增（減）區(qū)間.

（II）解本小題的關(guān)鍵是先確定在上恒成立不可能，故要使函數(shù)在上無零點，只要對任意的恒成立，即對恒成立．

再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求l(x)的最大值即可.

（III）解本小題的突破口是當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù) 單調(diào)遞減.

所以，函數(shù)當(dāng)時，不合題意；再確定時的情況.

解：（Ⅰ）當(dāng)時，由

       

故的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為         ………………………………4分

（Ⅱ）因為在上恒成立不可能，故要使函數(shù)在上無零點，

只要對任意的恒成立，即對恒成立．          

令則再令

在上為減函數(shù)，于是

從而，，于是在上為增函數(shù)

故要使恒成立，只要

綜上，若函數(shù)在上無零點，則的最小值為……………………8分

（III）當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù) 單調(diào)遞減

所以，函數(shù)當(dāng)時，不合題意；

當(dāng)時，  

故必需滿足  ①

此時，當(dāng) 變化時的變化情況如下：

	—	0	+
	單調(diào)減	最小值	單調(diào)增

∴對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的

使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件② ③

令  

令，得[來源:Z#xx#k.Com]

當(dāng)時， 函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減．

所以，對任意有即②對任意恒成立． 

由③式解得：    ④             

綜合①④可知，當(dāng)時，對任意給定的在上總存在兩個不同的，使成立．………………………………14分