Question

（2011•溫州二模）函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

27

x+1的極值點(diǎn)是x₁，x₂，函數(shù)g（x）=x-alnx的極值點(diǎn)是x₀，若x₀+x₁+x₂＜2．
（I ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）若存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)?x₃，x₄∈[1，m]，不等式f（x₃）≤g（x₄）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I ）由f′(x)=x2-ax+

2

27

，x₁，x₂是方程x2-ax+

2

27

=0的兩個(gè)根，△=a2-

8

27

＞0，x₁+x₂=a，由g′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，（x＞0）．知當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)．當(dāng)a＞0，x∈（0，a），g′（x）＜0；當(dāng)x∈（a，+∞），g′（x）＞0，函數(shù)的極值點(diǎn)x₀=a．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（II）由

2 6

9

＜a＜1，知g（x）在[1，m]上為增函數(shù)，故g（x）_min=g（1）=1．導(dǎo)函數(shù)f′（x）的對(duì)稱軸為x=

a

2

＜

1

2

，由此入手能夠求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I ）∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

27

x+1的極值點(diǎn)是x₁，x₂，，
∴f′(x)=x2-ax+

2

27

，x₁，x₂是方程x2-ax+

2

27

=0的兩個(gè)根，
∴△=a2-

8

27

＞0，x₁+x₂=a，
∵g（x）=x-alnx的極值點(diǎn)是x₀，
∴g′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，（x＞0）．
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)．
當(dāng)a＞0，x∈（0，a），g′（x）＜0；當(dāng)x∈（a，+∞），g′（x）＞0，
函數(shù)的極值點(diǎn)x₀=a．
∵x₀+x₁+x₂＜2．
∴

2a＜2 △＞=a2-27＞0 a＞0

，
∴

2 6

9

＜a＜1．
（II）∵

2 6

9

＜a＜1，
∴g（x）在[1，m]上為增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（1）=1．
導(dǎo)函數(shù)f′（x）的對(duì)稱軸為x=

a

2

＜

1

2

，x1x2=

2

27

，
∴x₁，x₂都是小于1的正數(shù)，
∵f′（x）=（x-x₁）（x-x₂），令x₁＜x₂，
∵x∈(x2，+∞)，f′(x)＞0，
∴f（x）在[1，m]上為增函數(shù)，
∴f(x) max=f(m)=

1

3

m3-

1

2

am2+

2

27

m+1，
∴

1

3

m3-

1

2

am2+

2

27

m+1≤1，
即-27m²a+18m³+4m≤0，
∵m＞1，令h（a）在（

2 6

9

，1）為減函數(shù)，
∴h（1）＜0，即18m³-27m²+4m＜0，
解得

1

6

＜m＜

4

3

，
∴1＜m＜

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．