Question

在直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b+2（k≠0）的圖象與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于點A、B．
（1）用b和k表示△AOB的面積S_△AOB；
（2）若△AOB的面積S_△AOB=|OA|+|OB|+3．
①用b表示k，并確定b的取值范圍；
②求△AOB面積的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),基本不等式在最值問題中的應用

專題：直線與圓

分析：（1）分別求出直線和坐標軸的交點保證即可用b和k表示△AOB的面積S_△AOB；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，利用基本不等式進行求解即可．

解答： 解：（1）令x=0，得y=b+2（b＞-2）；
令y=0，得x=-

b+2

k

(k＜0)．
點A(-

b+2

k

，0)，B(0，b+2)，
∴S△AOB=

1

2

(b+2)(-

b+2

k

)=-

(b+2)2

2k

…（5分）
（2）①由題意得-

(b+2)2

2k

=-

b+2

k

+b+2+3，
解得k=-

b2+2b

2(b+5)

， ∵k＜0， ∴-

b2+2b

2(b+5)

＜0，
結(jié)合b＞-2，解得b＞0．
故k=-

b2+2b

2(b+5)

，b＞0…（10分）
②由①得S_△AOB=-

(b+2)2

2k

=

(b+2)(b+5)

b

=

b2+7b+10

b

=b+

10

b

+7≥2

b• 10 b

+7=7+2

10

，
當且僅當b=

10

b

，即b=

10

時取等號，
故△AOB面積的最小值為7+2

10

．

點評：本題主要考查直線方程的應用，以及三角形面積的計算，利用基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．