Question

已知函數(shù)f（x）=

3x

ax+b

，f（1）=1，f（

1

2

）=

3

4

，數(shù)列{x_n}滿足x₁=

3

2

，x_n+1=f（x_n）．
（1）求x₂，x₃的值；
（2）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：

x1

3

+

x2

32

+…+

xn

3n

＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知求出a=2，b=1，從而得到f(x)=

3x

2x+1

，由此利用遞推思想能求出x₂，x₃的值．
（2）猜想x_n=

3n

3n-1

．再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，能求出數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由

xn

3n

=

1

3n-1

≤

1

3n-1•2

，得到

x1

3

+

x2

32

+…+

xn

3n

＜

1

2

(

1

30

+

1

3

+…+

1

3n-1

)，由此能證明

x1

3

+

x2

32

+…+

xn

3n

＜

3

4

．

解答： （1）解：∵f（x）=

3x

ax+b

，f（1）=1，f（

1

2

）=

3

4

，
∴

3 a+b =1 3× 1 2 1 2 a+b = 3 4

，解得a=2，b=1，
∴f(x)=

3x

2x+1

，
∵數(shù)列{x_n}滿足x₁=

3

2

，x_n+1=f（x_n），
∴x₂=f（

3

2

）=

3× 3 2

2× 3 2 +1

=

9

8

，
x₃=f（

9

8

）=

3× 9 8

2× 9 8 +1

=

27

26

．
（2）解：由（1）猜想x_n=

3n

3n-1

．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時(shí)，x₁=

3

3-1

=

3

2

，成立．
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即xk=

3k

3k-1

，
則x_k+1=f（x_k）=

3× 3k 3k-1

2× 3k 3k-1 -1

=

3k+1

3k+1-1

，也成立，
由①②知x_n=

3n

3n-1

．
（3）證明：∵

xn

3n

=

1

3n-1

≤

1

3n-1•2

，
∴

x1

3

+

x2

32

+…+

xn

3n

＜

1

2

(

1

30

+

1

3

+…+

1

3n-1

)
=

1

2

×

1- 1 3n

1- 1 3

=

3

4

（1-

1

3n

）＜

3

4

．
∴

x1

3

+

x2

32

+…+

xn

3n

＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸思想、函數(shù)思想的合理運(yùn)用，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．