Question

4．已知x，y，z都是質(zhì)數(shù)，則方程x^y+7=z的解（x，y，z）的個(gè)數(shù)是1．

Answer 1

分析 若x為奇數(shù)，則Z=x^y+7為偶數(shù)，不符，因此x為偶數(shù)，且為質(zhì)數(shù)只能是x=2，
設(shè)y=pq（p為奇數(shù)），根據(jù)二項(xiàng)式定理即可證明以z-6為偶數(shù)，這與z-6為質(zhì)數(shù)相矛盾，故假設(shè)不成立，則y只能為2，問(wèn)題得以解決

解答 解：若x為奇數(shù)，則Z=x^y+7為偶數(shù)，不符，因此x為偶數(shù)，且為質(zhì)數(shù)只能是x=2，
設(shè)y=pq（p為奇數(shù)），
z-6=2^pq-1=（2^q）^p+1=[（2^q+1）-1]^p+7=（-1）^0pC_p⁰（2^q+1）^p+（-1）¹C_p¹（2^q+1）^p-1+…+（-1）^p-1C_p^p-1（2^q+1）¹+（-1）^p+1，
=（2^q+1）[（-1）^0pC_p⁰（2^q+1）^p-1+（-1）¹C_p¹（2^q+1）^p-2+…+（-1）^p-1C_p¹]，
因?yàn)?^pq-1＞0，
所以z-6＞0，
所以z-6為質(zhì)數(shù)，
故假設(shè)矛盾，
故y只能為2，
z=x^y+7=4+7=11，
因此只有一組質(zhì)數(shù)解：x=y=2，z=7，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)論的有關(guān)問(wèn)題，關(guān)鍵是判斷數(shù)x，y的值只能為2，屬于難題．