Question

4．如圖，橢圓$W：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其左頂點A在圓O：x²+y²=16上．
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）直線AP與橢圓W的另一個交點為P，與圓O的另一個交點為Q．
（i）當(dāng)$|AP|=\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$時，求直線AP的斜率；
（ii）是否存在直線AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$？若存在，求出直線AP的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）橢圓W的左頂點A在圓O：x²+y²=16上求得a，結(jié)合離心率求得c，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）法一：（i）設(shè)直線方程為y=k（x+4），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長公式列式求得k值；
（ii）由點到直線的距離公式求出圓心到直線AP的距離，再由垂徑定理求得|AQ|，代入$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}=\frac{|AQ|}{|AP|}-1$，可得滿足條件的直線AP不存在；
法二：（i）直線AP的方程為x=my-4，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用弦長公式列式求得k值；
（ii）由點到直線的距離公式求出圓心到直線AP的距離，再由垂徑定理求得|AQ|，代入$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}=\frac{|AQ|}{|AP|}-1$，可得滿足條件的直線AP不存在．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓W的左頂點A在圓O：x²+y²=16上，∴a=4．
又離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則$c=2\sqrt{3}$，
∴b²=a²-c²=4，
∴W的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）法一：（i）設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），顯然直線AP存在斜率，
設(shè)直線AP的方程為y=k（x+4），
與橢圓方程聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+4）\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，
化簡得到（1+4k²）x²+32k²x+64k²-16=0，
∵-4為上面方程的一個根，∴${x_1}+（-4）=\frac{{-32{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，則${x_1}=\frac{{4-16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$．
由$|AP|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-（-4）|=\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$，
代入得到$|AP|=\frac{{8\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$，解得k=±1，
∴直線AP的斜率為1，-1；
（ii）∵圓心到直線AP的距離為$d=\frac{|4k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
∴$|AQ|=2\sqrt{16-{d^2}}=2\sqrt{\frac{16}{{1+{k^2}}}}=\frac{8}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$．
∵$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}=\frac{|AQ|}{|AP|}-1$，
代入得到$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{{\frac{8}{{\sqrt{1+{k^2}}}}}}{{\frac{{8\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}}}-1=\frac{{1+4{k^2}}}{{1+{k^2}}}-1=\frac{{3{k^2}}}{{1+{k^2}}}=3-\frac{3}{{1+{k^2}}}$．
顯然$3-\frac{3}{{1+{k^2}}}≠3$，
∴不存在直線AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$．
法二：（i）設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），顯然直線AP存在斜率且不為0，
設(shè)直線AP的方程為x=my-4，
與橢圓方程聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}x=my-4\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，
化簡得到（m²+4）y²-8my=0，
顯然-4上面方程的一個根，∴另一個根，即${y_1}=\frac{8m}{{{m^2}+4}}$，
由$|AP|=\sqrt{1+{m^2}}|{y_1}-0|=\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$，
代入得到$|AP|=\sqrt{1+{m^2}}\frac{8|m|}{{{m^2}+4}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{5}$，解得m=±1．
∴直線AP的斜率為1，-1；
（ii）∵圓心到直線AP的距離為$d=\frac{|4|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$，
∴$|AQ|=2\sqrt{16-{d^2}}=2\sqrt{\frac{{16{m^2}}}{{1+{m^2}}}}=\frac{8|m|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$．
∵$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}=\frac{|AQ|}{|AP|}-1$，
代入得到$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{{\frac{8|m|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}}}{{\sqrt{1+{m^2}}\frac{8|m|}{{{m^2}+4}}}}-1=\frac{{{m^2}+4}}{{1+{m^2}}}-1=\frac{3}{{1+{m^2}}}$．
若$\frac{3}{{1+{m^2}}}=3$，則m=0，與直線AP存在斜率矛盾，
∴不存在直線AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用，考查點到直線距離公式，屬中檔題．