Question

16．過點(diǎn)A（-2，4）引傾斜角為135°的直線，交曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，p＞0）于P₁，P₂兩點(diǎn)，若|AP₁|，|P₁P₂|，|AP₂|成等比數(shù)列，求p的值．

Answer 1

分析 曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，p＞0），化為y²=2px．過A（-2，4）引傾斜角為135°的直線，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，把直線參數(shù)方程代入拋物線方程可得：t²+（8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$p）t+32+8p=0，可得：|AP₁|=|t₁|=-t₁，|P₁P₂|=|t₂-t₁|，|AP₂|=|t₂|=-t₂，由于|AP₁|，|P₁P₂|，|AP₂|成等比數(shù)列，可得$|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}$=|AP₁|•|AP₂|，化簡解出即可得出．

解答 解：曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，p＞0），化為y²=2px．
過A（-2，4）引傾斜角為135°的直線，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
把直線參數(shù)方程代入拋物線方程可得：t²+（8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$p）t+32+8p=0，
∴t₁+t₂=-（8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$p），t₁t₂=32+8p．假設(shè)|t₁|＜|t₂|．
∴|AP₁|=|t₁|=-t₁，|P₁P₂|=|t₂-t₁|，|AP₂|=|t₂|=-t₂，
∴$|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}$=$（{t}_{2}-{t}_{1}）^{2}$=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$-4t₁t₂=8p²+32p．
∵|AP₁|，|P₁P₂|，|AP₂|成等比數(shù)列，
∴$|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}$=|AP₁|•|AP₂|，
∴8p²+32p=t₁t₂=32+8p，
化為：p²+3p-4=0，p＞0，
解得p=1．
∴p=1．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、等比數(shù)列的性質(zhì)、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、直線與拋物線相交弦長問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．