Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx，若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，e）處公共切線．
（I）求a，b的值；
（II）記h（x）=f（x）+g（x），判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f^′（x），g^′（x），由題意可得，解出即可；
（II）利用（I）即可得到h（x），利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得到h^′（x），即可得到其單調(diào)性．
解答：解：（I）由已知可得f^′（x）=2ax，g′（x）=3x²+b，
由題意可得，即，
解得a=b=3．
（II）由（I）可得f（x）=3x²+1，g（x）=x³+3x，
∴h（x）=f（x）+g（x）=x³+3x²+3x+1，
∴h^′（x）=3x²+6x+3=3（x+1）²≥0，
因此h（x）在R上單調(diào)遞增．
點(diǎn)評：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．