【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)求函數(shù)的零點個數(shù);
(Ⅱ)證明: 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件.
【答案】(I)詳見解析;(II)詳見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)對函數(shù)求導有 ,令,求出根,得到 的零點個數(shù),注意分情況討論;(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的分類討論,分別利用導數(shù)與函數(shù)最值的關系以及充分不必要條件的定義即可證明.
試題解析:
(Ⅰ)由,
得
令,得,或.
所以當時,函數(shù)有且只有一個零點: ;當時,函數(shù)有兩個相異的零點: , .
(Ⅱ)①當時, 恒成立,此時函數(shù)在上單調遞減,
所以,函數(shù)無極值.
②當時, , 的變化情況如下表:
所以, 時, 的極小值為.
又時, ,
所以,當時, 恒成立.
所以, 為的最小值.
故是函數(shù)存在最小值的充分條件.
③當時, , 的變化情況如下表:
因為當時, ,
又,
所以,當時,函數(shù)也存在最小值.
所以, 不是函數(shù)存在最小值的必要條件.
綜上, 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件.
點睛; 本題注意考查了導數(shù)與函數(shù)的極值、最值的關系,屬于中檔題. 涉及的考點有:用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值,充分不必要條件的判斷,根的存在及個數(shù)判斷. 考查了學生分析問題和轉化的能力以及分類討論思想.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)給出的一個取值,使得曲線存在斜率為的切線,并說明理由;
(Ⅱ)若存在極小值和極大值,證明: 的極小值大于極大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 , 是坐標原點, 分別為其左右焦點, , 是橢圓上一點, 的最大值為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓交于兩點,且
(i)求證: 為定值;
(ii)求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知{an}是等差數(shù)列,滿足a1=3,a5=15,數(shù)列{bn}滿足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}(n∈N+)是等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的通項為an , 前n項和為sn , 且an是sn與2的等差中項,數(shù)列{bn}中,b1=1,點P(bn , bn+1)在直線x﹣y+2=0上. (Ⅰ)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式an , bn
(Ⅱ)設{bn}的前n項和為Bn , 試比較 與2的大。
(Ⅲ)設Tn= ,若對一切正整數(shù)n,Tn<c(c∈Z)恒成立,求c的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線與拋物線相切,且與軸的交點為,點.若動點與兩定點所構成三角形的周長為6.
(Ⅰ) 求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ) 設斜率為的直線交曲線于兩點,當,且位于直線的兩側時,證明: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位學生參加數(shù)學競賽培訓,在培訓期間他們參加的5次預寒成績記錄如下:
甲:82,82,79,95,87
乙:95,75,80,90,85
(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);
(2)求甲、乙兩人成績的平均數(shù)與方差;
(3)若現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽,你認為選派哪位學生參加合適,說明理由?
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