Question

如圖，多面體EFABCD中，底面ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD，DF∥AF，AB=DE=2，AF=1．
（Ⅰ）證明：BE⊥AC；
（Ⅱ）點(diǎn)N在棱BE上，當(dāng)BN的長(zhǎng)度為多少時(shí)，直線CN與平面ADE成30°角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得DE⊥平面ABCD，DA、DE、DC兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BE⊥AC．
（Ⅱ）設(shè)

BN

=λ

BE

，0≤λ≤1，則

CN

=

CB

+

BN

=

CB

+λ

BE

=（-2λ+2，-2λ，2λ），

CD

為平面ADE的法向量，由此利用向量法能求出BN的長(zhǎng)．

解答： （Ⅰ）證明：∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF，
∴DE⊥平面ABCD，
又∵ABCD是正方形，∴DA、DE、DC兩兩互相垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由已知得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），

AC

=（-2，2，0），

BE

=（-2，-2，2），
∴

AC

•

BE

=4-4+0=0，∴BE⊥AC．
（Ⅱ）解：

CB

=（2，0，0），

BE

=（-2，-2，2），

CD

=（0，-2，0），
∵點(diǎn)N在棱BE上，∴設(shè)

BN

=λ

BE

，0≤λ≤1，
∴

CN

=

CB

+

BN

=

CB

+λ

BE

=（-2λ+2，-2λ，2λ），
∵CD⊥平面ADE，∴

CD

為平面ADE的法向量，
當(dāng)直線CN與平面ADE成30°角時(shí)，＜

CN

，

CD

＞=60°，
∴cos＜

CN

，

CD

＞=

λ

3λ2+2λ+1

=cos60°=

1

2

，
解得λ=-1±

2

，
∵0≤λ≤1，∴λ=

2

-1，
∴BN的長(zhǎng)為|

BN

|=λ|

BE

|=(

2

-1)•2

3

=2

6

-2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直、線面垂直、線面角、空間向量的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力和探究能力．