Question

已知直線 l：（1+

3

λ）x-（3-2λ）y-（

3

+3λ）=0（λ∈R），一定經(jīng)過橢圓C（中心在原點，焦點在x軸上）的焦點F，且橢圓C上的點到焦點F的最大距離為2+

3

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為k（k≠0）的直線n交橢圓C與A、B兩點，且k_OA、k、k_OB成等差數(shù)列，點M（1，1），求S_△ABM的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）確定直線恒過定點（

3

，0），即F（

3

，0），可得c，利用橢圓C上的點到焦點F的最大距離為2+

3

，可得a，從而可得b，則橢圓的方程可求；
（2）確定直線n的方程為y=kx，代入橢圓方程，借助于弦長公式求出|AB|的長度，由點到直線的距離公式求出M到直線y=kx的距離，寫出三角形AOB的面積后轉(zhuǎn)化為含有k的代數(shù)式，利用導(dǎo)數(shù)法求最值．

解答： 解：（1）直線 l：（1+

3

λ）x-（3-2λ）y-（

3

+3λ）=0（λ∈R），可化為
（x-3y-

3

）+λ（

3

x+2y-3）=0，
由x-3y-

3

=0，且

3

x+2y-3=0，可得x=

3

，y=0，
∴直線恒過定點（

3

，0），即F（

3

，0），
∴c=

3

，
∵橢圓C上的點到焦點F的最大距離為2+

3

∴a+c=2+

3

∴a=2，
∴b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)直線n的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），（x₂，y₂），則
∵k_OA、k、k_OB成等差數(shù)列，
∴m（x₁+x₂）=0，
∴m=0，
∴直線n的方程為y=kx
代入橢圓方程得（1+4k²）x²=4，
∴|AB|=

4 1+k2

1+4k2

．
∵M(jìn)到y(tǒng)=kx的距離為d=

|k-1|

k2+1

∴S=

1

2

•

4 1+k2

1+4k2

•

|k-1|

k2+1

=

2|k-1|

1+4k2

∴S²=

4(k-1)2

1+4k2

，
∴（S²）′=

8(k-1)(4k+1)

(1+4k2)2

，
∴k＜-

1

4

，（S²）′＞0，-

1

4

＜k＜1，（S²）′＜0，k＞1，（S²）′＞0，
∴k=-

1

4

時，S取得最大值

5

．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查弦長問題、最值問題．屬難題．