Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAB是正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，AC與BD的交點(diǎn)為M．
（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）求證：平面BED⊥平面AED．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)EM，得EM是三角形PAC的中位線，由此能證明PC∥平面EBD．
（2）由線面垂直得AD⊥AB，從而AD⊥平面PAB，進(jìn)而AD⊥BE，由等邊三角形的性質(zhì)得BE⊥AE，由此能證明平面BED⊥平面AED．

解答： （1）證明：連結(jié)EM，（2分）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴M為AC的中點(diǎn)．（3分）
∵E是PA的中點(diǎn)，
∴EM是三角形PAC的中位線，（4分）
∴EM∥PC．（5分）
∵EM?平面EBD，PC不包含于平面EBD，
∴PC∥平面EBD．（7分）
（2）解：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
而AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，
∵BE?平面PAB，∴AD⊥BE，（8分）
又∵△PAB是等邊三角形，且E是PA的中點(diǎn)，
∴BE⊥AE，
又BE∩AD=A，∴BE⊥平面AED，（10分）
又BE?平面EBD，
∴平面BED⊥平面AED．（12）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．