Question

已知正四面體的棱長(zhǎng)為4cm，求由正四面體的中截面所截出的正三棱臺(tái)的斜高、高、上、下底面的面積（注：中截面特指經(jīng)過高的中點(diǎn)且平行于底面的幾何體的截面）．

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：如圖所示，如圖所示，點(diǎn)O，O₁分別為正△ABC，正△A₁B₁C₁的中心，點(diǎn)D，D₁分別為BC，B₁C₁的中點(diǎn)．過點(diǎn)D₁作D₁E⊥AD，垂足為E點(diǎn)．由正四面體的棱長(zhǎng)為4cm，斜高D₁D=

1

2

PD.OD=

1

3

AD．高O₁O=

1

2

PO=

1

2

PD2-OD2

．S_△ABC=

3

4

a2.S△A1B1C1=

1

2

S△ABC．

解答： 解：如圖所示，
如圖所示，點(diǎn)O，O₁分別為正△ABC，正△A₁B₁C₁的中心，點(diǎn)D，D₁分別為BC，B₁C₁的中點(diǎn)．過點(diǎn)D₁作D₁E⊥AD，垂足為E點(diǎn)．
∵正四面體的棱長(zhǎng)為4cm，
∴斜高D₁D=

1

2

PD=

1

2

×

3

2

×4=

3

．
OD=

1

3

AD=

1

3

×2

3

=

2 3

3

．
∴高O₁O=

1

2

PO=

1

2

PD2-OD2

=

2 6

3

．
S_△ABC=

3

4

×42=4

3

．
S△A1B1C1=

1

2

S△ABC=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正四面體的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、勾股定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．