Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，

2

2

），離心率為

2

2

，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．點(diǎn)P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C，D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線PF₁，PF₂的斜率存在，且分別為k₁，k₂．
①求證：

1

k1

-

3

k2

為定值；
②是否存在這樣的點(diǎn)P，使直線OA，OB，OC，OD的斜率之和為0？若存在，
求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知得

1 a2 + 1 2b2 =1 c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）（i）直線PF₁，PF₂的方程分別為y=k₁（x+1），y=k₂（x-1）聯(lián)立方程P（

k1+k2

k1-k1

，

2k1k2

k2-k1

），由此能證明

1

k1

-

3

k2

=2為定值．
（ii）設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），D（x_D，y_D） 聯(lián)立直線PF₁與橢圓的方程得

y=k1(x+1) x2  2 +y2=1

，得（2k₁²+1）x²+4k²₁x+2k²₁-2=0，從而k_OA+k_OB=-

2k1

k12-1

，同理，k_OC+k_OD=-

2k2

k22-1

，由此推導(dǎo)出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為（0，2），（

5

4

，

3

4

）．

解答： （1）解：因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)（1，

2

2

），離心率為

2

2

，
所以

1 a2 + 1 2b2 =1 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=1，c=1，
故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）（i）證明：由于F₁（-1，0）、F₂（1，0），
PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，且點(diǎn)P不在x軸上，
所以k₁≠k₂，k₁≠0，k₂≠0，
又直線PF₁，PF₂的方程分別為y=k₁（x+1），y=k₂（x-1）
聯(lián)立方程得

x= k1+k2 k2-k1 y= 2k1k2 k2-k2

，所以P（

k1+k2

k1-k1

，

2k1k2

k2-k1

），
由于點(diǎn)P在直線x+y=2上
所以

k1+k2+2k1k2

k2-k1

=2，
因此2k₁k₂+3k₁-k₂=0
即

1

k1

-

3

k2

=2為定值．
（ii）解：設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），D（x_D，y_D）
聯(lián)立直線PF₁與橢圓的方程得

y=k1(x+1) x2  2 +y2=1

，
化簡(jiǎn)得（2k₁²+1）x²+4k²₁x+2k²₁-2=0
因此x_A+x_B=-

4k12

2k12+1

，x_Ax_B=

2k12-2

2k1+1

，
由于OA，OB的斜率存在
所以x_A≠0，x_B≠0
因此k₁²≠0，1
因此k_OA+k_OB=

yA

xA

+

yB

xB

=

k1(xA+1)

xA

+

k1(xB+1)

xB

=2k1+k1•

xA+xB

xAxB

=k1(2-

4k12

2k12-2

)
=-

4k1

2k12-2

=-

2k1

k12-1

，
同理，得到x_C≠0，x_D≠0，
k22≠0，k_OC+k_OD=-

2k2

k22-1

，
故k_OA+k_OB+k_OC+k_OD
=-2（

k1

k12-1

+

k2

k22-1

）
=-2×

k1k22-k1+k12k2-k2

(k12-1)(k22-1)

=-

2(k1k2-1)(k1+k2)

(k12-1)(k22-1)

，
若k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0，須有k₁+k₂=0或k₁k₂=1，
①當(dāng)k₁+k₂=0時(shí)，結(jié)合（i）的結(jié)論，可得k₂=-2，
所以解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）；
②當(dāng)k₁k₂=1時(shí)，結(jié)合（i）的結(jié)論，
解得k₂=3或k₂=-1（此時(shí)k₁=-1，不滿足k₁≠k₂，舍去），
此時(shí)直線CD的方程為y=3（x-1），聯(lián)立方程x+y=2得x=

5

4

，y=

3

4

，
因此P（

5

4

，

3

4

）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為（0，2），（

5

4

，

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查

1

k1

-

3

k2

為定值的證明，考查滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是否存在的判斷與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．