Question

16．已知雙曲線C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的離心率為2，若拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，則p=8．

Answer 1

分析 利用雙曲線的離心率求出ab關(guān)系，得到漸近線方程，利用拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離求解即可．

解答 解：由題意可得雙曲線C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，漸近線為y=±$\frac{a}$x，
化為一般式可得bx±ay=0，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
解得b=$\sqrt{3}$a，∴y=±$\sqrt{3}$x
又拋物線C₂：x²=2py（p＞0）（p＞0）的焦點(diǎn)為（0，$\frac{p}{2}$），
故焦點(diǎn)到$\sqrt{3}$x±y=0的距離d=$\frac{\left|\frac{p}{2}\right|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{p}{4}$=2，
∴p=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線與拋物線的簡單性質(zhì)，涉及離心率的應(yīng)用和點(diǎn)到直線的距離公式，屬中檔題．