Question

4．已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x）其中（a＞0且a≠1），設(shè)h（x）=f（x）-g（x）．
（1）求函數(shù)h（x）的定義域，判斷h（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）求使h（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先得到h（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），可以得出h（x）的定義域?yàn)椋?1，1），求h（-x）=-h（x），從而得出h（x）為奇函數(shù)；
（2）由h（x）＞0可得到log_a（1+x）＞log_a（1-x），可討論a：分a＞1和0＜a＜1兩種情況，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可求出每種情況下x的取值范圍．

解答 解：（1）h（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）；
解$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得，-1＜x＜1；
∴h（x）的定義域?yàn)椋?1，1）；
h（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-h（x）；
∴h（x）為奇函數(shù)；
（2）由h（x）＞0得，log_a（1+x）＞log_a（1-x）；
①若a＞1，則：
$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{1+x＞1-x}\end{array}\right.$；
∴0＜x＜1；
②若0＜a＜1，則：
$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{1+x＜1-x}\end{array}\right.$；
∴-1＜x＜0；
∴a＞1時(shí)，使h（x）＞0的x的取值范圍為（0，1），0＜a＜1時(shí)，x的取值范圍為（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，函數(shù)定義域的概念及求法，奇函數(shù)的定義及判斷方法和過程，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．