Question

【題目】已知橢圓與雙曲線有共同焦點(diǎn)，且離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)為橢圓的下頂點(diǎn)， 為橢圓上異于的不同兩點(diǎn)，且直線與的斜率之積為.

（�。┰噯�(wèn)所在直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（ⅱ）若為橢圓上異于的一點(diǎn)，且，求的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）（0,0）；（ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的方程為，則，

又，∴，∴，則橢圓的方程可求:

（Ⅱ）（�。┯懻摽芍�，直線的斜率存在，設(shè)所在直線方程為，

聯(lián)立，消去得： ，①

設(shè)， ，

， ，

， ，將上述結(jié)論代入可得

.又由題意

解得： .即直線恒過(guò)點(diǎn)（0,0）.

（ⅱ）由（�。┲�， ，

而，∴.

當(dāng)時(shí)，設(shè)所在直線方程為，

則， ，

當(dāng)時(shí)，亦符合上式，

∴ .

令， ，

，

∵，∴，

當(dāng)，即時(shí)， 取最大值4，

所以當(dāng)，即時(shí)， 面積最小，最小值為.

試題解析：（Ⅰ）由題意知：雙曲線的焦點(diǎn)為， ，

設(shè)橢圓的方程為，半焦距為，則，

又，∴，

∴

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）（�。┤糁本�斜率不存在，設(shè)， ，

則，

而，故不成立.

所以直線的斜率存在，

設(shè)所在直線方程為，

聯(lián)立，消去得： ，①

設(shè)， ，

， ，

， ，

.

整理得： .

∴直線恒過(guò)點(diǎn)（0,0）.

（ⅱ）由（�。┲�， ，

面，∴.

當(dāng)時(shí)，設(shè)所在直線方程為，

則， ，

當(dāng)時(shí)，亦符合上式，

∴

.

令， ，

，

∵，∴，

當(dāng)，即時(shí)， 取最大值4，

所以當(dāng)，即時(shí)， 面積最小，最小值為.