Question

17．拋物線y²=2px（p＞0）與直線y=x+1相切，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且|AF|+|BF|=8．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ） 線段AB的垂直平分線l與x軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說明理由；
（Ⅲ）求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）聯(lián)立切線和拋物線方程，由判別式等于0求解p的值；
（Ⅱ）由|AF|+|BF|=8，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為x₁+x₂+2=8，從而求出A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，設(shè)出C的坐標(biāo)，利用C在AB的垂直平分線上得|AC|=|BC|，代入兩點(diǎn)間的距離公式后移向整理，代入兩橫坐標(biāo)的和后可求m的值；
（Ⅲ）設(shè)出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線l的方程，把AB中點(diǎn)坐標(biāo)代入l的方程后得到AB中點(diǎn)坐標(biāo)與直線l的斜率k的關(guān)系，由AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部列式求得k的取值范圍．

解答 解：（I）因?yàn)閽佄锞�y²=2px（p＞0）與直線y=x+1相切，
所以由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=2px\\ y=x+1\end{array}\right.$得：y²-2py+2p=0（p＞0）有兩個(gè)相等實(shí)根．…（2分）
即△=4p²-8p=4p（p-2）=0得：p=2為所求．…（4分）
（II）拋物線y²=4x的準(zhǔn)線x=1．且|AF|+|BF|=8，
所以由定義得x₁+x₂+2=8，則x₁+x₂=6．…（5分）
設(shè)直線AB的垂直平分線l與x軸的交點(diǎn)C（m，0）．
由C在AB的垂直平分線上，從而|AC|=|BC|…（6分）
即${（{x_1}-m）^2}+{y_1}^2={（{x_2}-m）^2}+{y_2}^2$．
所以${（{x_1}-m）^2}-{（{x_2}-m）^2}={y_2}^2-{y_1}^2$．
即（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）=4x₂-4x₁=-4（x₁-x₂）…（8分）
因?yàn)閤₁≠x₂，所以x₁+x₂-2m=-4．
又因?yàn)閤₁+x₂=6，所以m=5，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，0）．
即直線AB的垂直平分線l與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)（5，0）．…（10分）
（III）設(shè)直線l的斜率為k₁，由（II）可設(shè)直線l方程為y=k₁（x-5）．
設(shè)AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），由${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=3$．可得M（3，y₀）．
因?yàn)橹本�l過點(diǎn)M（3，y₀），
所以y₀=-2k₁．…（11分）
又因?yàn)辄c(diǎn)M（3，y₀）在拋物線y²=4x的內(nèi)部，
所以${y_0}^2＜12$．…（12分）
即$4{k_1}^2＜12$，則${k_1}^2＜3$．
因?yàn)閤₁≠x₂，則k₁≠0．…（13分）
所以k₁的取值范圍為$（-\sqrt{3}，0）∪（0，\sqrt{3}）$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的定義和直線與曲線的相切問題，解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考�？嫉闹�識(shí)點(diǎn)，屬難題．