Question

4．函數(shù)f（x）=x（x-c）²在x=1處有極小值，則實(shí)數(shù)c為（　�。�

• A． 3
• B． 1
• C． 1或3
• D． -1

Answer 1

分析 由f′（x）=3x²-4cx+c²，根據(jù)函數(shù)f（x）=x（x-c）²在x=1處有極小值，得f′（1）=3-4c+c²=0，求出c=1或c=3，再把c=1和c=3分別代入f′（x）中，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x（x-c）²=x³-2cx²+c²x，
∴f′（x）=3x²-4cx+c²，
∵函數(shù)f（x）=x（x-c）²在x=1處有極小值，
∴f′（1）=3-4c+c²=0，
解得c=1或c=3，
當(dāng)c=1時(shí)，f′（x）=3x²-4x+1，
由f′（x）＞0，得x＜$\frac{1}{3}$或x＞1；由f′（x）＜0，得$\frac{1}{3}＜x＜1$．
∴增區(qū)間是（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞），減區(qū)間是（$\frac{1}{3}$，1），
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極小值，故c=1成立；
當(dāng)c=3時(shí)，f′（x）=3x²-12x+9，
由f′（x）＞0，得x＜1或x＞3；由f′（x）＜0，得1＜x＜3．
∴增區(qū)間是（-∞，1），（3，+∞），減區(qū)間是（1，3），
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極大值，故c=3不成立．
綜上：實(shí)數(shù)c為1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式、函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類(lèi)與整合思想，是中檔題．