Question

F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，從F₁引∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，交F₂P的延長線于M，則點(diǎn)M的軌跡是

以點(diǎn)F₂為圓心，半徑為2a的圓

．

Answer 1

分析：根據(jù)等腰三角形“三線合一”，得到|MP|=|F₁P|，從而|PF₁|+|PF₂|=|MF₂|，結(jié)合橢圓的定義可得|MF₂|=2a，即動點(diǎn)M到點(diǎn)
F₂的距離為定值2a，由此即可得到動點(diǎn)M的軌跡對應(yīng)的圖形．

解答：解：設(shè)從F₁引∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，垂足為R
∵△PF₁M中，PR⊥F₁M且PR是∠F₁PM的平分線
∴|MP|=|F₁P|，可得|PF₁|+|PF₂|=|PM|+|PF₂|=|MF₂|
根據(jù)橢圓的定義，可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|MF₂|=2a，即動點(diǎn)M到點(diǎn)F₂的距離為定值2a，
因此，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F₂為圓心，半徑為2a的圓．
故答案為：以點(diǎn)F₂為圓心，半徑為2a的圓．

點(diǎn)評：本題給出橢圓上動點(diǎn)P，求點(diǎn)M的軌跡方程，著重考查了橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)，以及等腰三角形“三線合一”等知識，屬于中檔題．