Question

8．△ABC中，2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，求$\frac{{S}_{△OBC}}{{S}_{△ABC}}$．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)OB到E，延長(zhǎng)OC到F，使得OE=3OB，OF=4OC，以O(shè)E，OF為鄰邊作平行四邊形OEDF，用S_△OEF表示出S_△AOC，S_△OAB，S_△OBC，即可得出面積比．

解答 解：∵2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴3$\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OA}$，
延長(zhǎng)OB到E，延長(zhǎng)OC到F，使得OE=3OB，OF=4OC，
以O(shè)E，OF為鄰邊作平行四邊形OEDF，
設(shè)OD與EF的交點(diǎn)為M，BC與OM的交點(diǎn)為N，連接BN，CM．
則$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OM}=-2\overrightarrow{OA}$，
∴OA=OM，
∴S_△AOC=S_△OCM=$\frac{1}{4}$S_△OMF=$\frac{1}{8}$S_△OEF，
S_△OAB=S_△OBM=$\frac{1}{3}$S_△OEM=$\frac{1}{6}$S_△OEF，
又S_△OBC=$\frac{1}{2}OB•OC$sin∠BOC=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{3}OE×\frac{1}{4}OF$sin∠BOC=$\frac{1}{12}$S_△OEF，
∴S_△ABC=S_△AOC+S_△OAB+S_△OBC=$\frac{3}{8}$S_△OEF，
∴$\frac{{S}_{△OBC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{12}}{\frac{3}{8}}$=$\frac{2}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的幾何運(yùn)算，三角形的面積計(jì)算，屬于中檔題．