(本小題滿分14分) 已知函數(shù),(x>0).

(1)當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時,求的值  ;   

(2)是否存在實數(shù)aba<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都是[ab],若存在,求出a,b的值,若不存在,請說明理由.

(3)若存在實數(shù)a,ba<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域為 [a,b]時,值域為 [ma,mb],(m≠0),求m的取值范圍.

 

 

 

【答案】

(14分)(1)

  (2)不存在滿足條件的實數(shù)a,b.

(3)

【解析】(14分)解:(1) ∵x>0,∴

f(x)在(0,1)上為減函數(shù),在上是增函數(shù).

由0<a<b,且f(a)=f(b),可得 0<a1<b.即

                                    ……………………3分

(2)不存在滿足條件的實數(shù)a,b.

若存在滿足條件的實數(shù)a,b,使得函數(shù)y=的定義域、值域都是[a,b],

則a>0. 而

①當(dāng)時,在(0,1)上為減函數(shù).

     即  解得  a=b.

故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.

②當(dāng)時,上是增函數(shù).

     即 

此時a,b是方程的根,此方程無實根.

故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.

③當(dāng),時,由于,而,

故此時不存在適合條件的實數(shù)a,b.

      綜上可知,不存在適合條件的實數(shù)a,b.         …………………………8分

(3)若存在實數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域為[a,b]時,值域為[ma,mb].

      則a>0,m>0.

①   當(dāng)時,由于f(x)在(0,1)上是減函數(shù),故.此時得a=b,不符合題意,所以a,b不存在.                              

②   當(dāng),時,由(2)知0在值域內(nèi),值域不可能是[ma,mb],所以a,b不存在.

        故只有

上是增函數(shù),

     ∴ 即    所以a、b是方程的兩個根.

即關(guān)于x的方程有兩個大于或等于1的相異實根.

設(shè)這兩個根為、,則+=,·=

       即    解得  

    故m的取值范圍是.    ……………………………14分

 

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3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

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π
2
]  時,求函數(shù)f(x)
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