Question

15．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程y=$\sqrt{2}$x，原點(diǎn)到過(guò)A（a，0）、B（0，-b）點(diǎn)直線l的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求雙曲線方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（1，1）能否作直線m，使m與已知雙曲線交于兩點(diǎn)P₁，P₂，且Q是線段P₁P₂的中點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出其方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用原點(diǎn)到直線l的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，①雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程y=$\sqrt{2}$x，可得$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，②由①②可得a=1，b=$\sqrt{2}$，即可求雙曲線方程；
（2）假設(shè)直線l存在．由已知條件利用點(diǎn)差法求出直線l的方程為2x-y-1=0，聯(lián)立方程組，得2x²-4x+3=0，由△-8＜0，推導(dǎo)出直線l不存在．

解答 解：（1）∵直線l過(guò)A（a，0）、B（0，-b）兩點(diǎn)，
∴方程為bx-ay-ab=0．
∵原點(diǎn)到直線l的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，①
∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程y=$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，②
由①②可得a=1，b=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）假設(shè)直線l存在．
設(shè)Q是線段P₁P₂的中點(diǎn)，
且P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
∵P₁，P₂在雙曲線上，
∴代入作差，整理可得2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴4（x₁-x₂）=2（y₁-y₂），
∴k=2，
∴直線l的方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0，
聯(lián)立方程組，得2x²-4x+3=0
∵△=16-4×3×2=-8＜0，
∴直線l與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，
∴直線l不存在

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了計(jì)算能力，注意點(diǎn)差法和根的判別式的合理運(yùn)用，屬于中檔題．