Question

函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），且在x∈[0，2）時(shí)，f（x）=

2x-x2

，若直線kx-y+k=0（k＞0）與函數(shù)f（x）的圖象有且僅有三個(gè)不同交點(diǎn)，則k的取值范圍是（　�。�

• A、(

  15

  15

  ，

  3

  3

  )
• B、(

  3

  5

  ，

  5

  3

  )
• C、(

  1

  3

  ，

  1

  2

  )
• D、(

  1

  15

  ，

  1

  3

  )

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的周期性，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用直線和圓相切的條件求出直線斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：由kx-y+k=0（k＞0）得y=k（x+1），（k＞0），
則直線過定點(diǎn)A（-1，0），
當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=

2x-x2

，即（x-1）²+y²=1，（y≥0），
對(duì)應(yīng)的根據(jù)為圓心在（1，0）的上半圓，
∵f（x）滿足f（x+2）=f（x），
∴當(dāng)x∈[2，4）時(shí)，（x-3）²+y²=1，（y≥0），此時(shí)圓心為（3，0），
當(dāng)直線和圓（x-1）²+y²=1，（y≥0）相切時(shí)此時(shí)有2個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)圓心（1，0）到直線的距離d=

|k+k|

1+k2

=

|2k|

1+k2

=1，
解得k=

3

3

或k=-

3

3

（舍）．
當(dāng)線和圓（x-3）²+y²=1，（y≥0）相切時(shí)此時(shí)有4個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)圓心（3，0）到直線的距離d=

|3k+k|

1+k2

=

|4k|

1+k2

=1，
解得k=

15

15

或k=-

15

15

（舍）．
若若直線kx-y+k=0（k＞0）與函數(shù)f（x）的圖象有且僅有三個(gè)不同交點(diǎn)，
則直線在AB和AC之間，
則

15

15

＜k＜

3

3

，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程之間的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及直線和圓心相切的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．