Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{{（x-a）}^2}}}{lnx}$（其中a為常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）a≥$\frac{1}{2}$且函數(shù)f（x）有3個(gè)極值點(diǎn)，求a的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的方程，列出表格，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$2lnx+\frac{a}{x}-1=0$在（0，1）∪（1，+∞）有兩不相等的實(shí)根，設(shè)函數(shù)$h（x）=2lnx+\frac{a}{x}-1$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），
∵$f'（x）=\frac{{x（{2lnx-1}）}}{{{{ln}^2}x}}$…..（1分）
令f'（x）=0可得$x=\sqrt{e}$．列表如下：

x	（0，1）	$（{1，\sqrt{e}}）$	$\sqrt{e}$	$（{\sqrt{e}，+∞}）$
f'（x）	-	-	0	+
f（x）	減	減	極小值	增

單調(diào)減區(qū)間為（0，1）和$（{1，\sqrt{e}}）$；增區(qū)間為$（{\sqrt{e}，+∞}）$…..（3分）
（Ⅱ）由$f'（x）=\frac{{（{x-a}）（{2lnx+\frac{a}{x}-1}）}}{{{{ln}^2}x}}$…..（4分）
當(dāng)$a≥\frac{1}{2}且a≠1$∴x=a為f'（x）=0的一個(gè)根，即一個(gè)極值點(diǎn)，…..（5分）
∵$2lna+\frac{a}{a}-1=2lna≠0$，且f（x）在定義域內(nèi)有三個(gè)極值點(diǎn)，
∴$2lnx+\frac{a}{x}-1=0$在（0，1）∪（1，+∞）有兩不相等的實(shí)根…..（6分）
設(shè)函數(shù)$h（x）=2lnx+\frac{a}{x}-1$，有$h'（x）=\frac{2x-a}{x^2}$，
∴函數(shù)h（x）在$（{0，\frac{a}{2}}）$上單調(diào)遞減，在$（{\frac{a}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增，…..（8分）
從而${h_{min}}（x）=h（\frac{a}{2}）=2ln\frac{a}{2}+1＜0$，所以$a＜\frac{2}{{\sqrt{e}}}$，…..（9分）
∵$\frac{2}{{\sqrt{e}}}=\sqrt{\frac{4}{e}}＜1$，$h（1）=2ln1+\frac{a}{1}-1=a-1≠0$，
且$h（\sqrt{e}）=2ln\sqrt{e}+\frac{a}{{\sqrt{e}}}-1=\frac{a}{{\sqrt{e}}}＞0$，$h（{e^{-4}}）=2ln{e^{-4}}+a{e^4}-1=a{e^4}-9≥\frac{e^4}{2}-9＞0$…..（10分）
∴滿足函數(shù)h（x）在$（{0，\frac{a}{2}}）$和$（{\frac{a}{2}，+∞}）$上各有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a=1時(shí)，顯然$h（x）=2lnx+\frac{a}{x}-1$沒(méi)有三個(gè)零點(diǎn)，…..（11分）
∴$\frac{1}{2}≤a＜\frac{2}{{\sqrt{e}}}$…..（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道綜合題．