Question

20．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），e為自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)f（x）滿足xf′（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，且f（e）=$\frac{1}{e}$，則不等式f（x）-x＞$\frac{1}{e}$-e的解集是（0，e）．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的解析式，再令y=f（x）-x，確定函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即可解出不等式．

解答 解：∵xf?（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴（xf（x））?=$\frac{lnx}{x}$，
兩邊積分xf（x）=$\frac{1}{2}$ln²x+C，
∴f（x）=$\frac{1}{x}$•（$\frac{1}{2}$ln²x+C），
∵f（e）=$\frac{1}{e}$，
∴f（e）=$\frac{1}{e}$（$\frac{1}{2}$+C）=$\frac{1}{e}$，
∴C=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{x}$•（$\frac{1}{2}$ln²x+$\frac{1}{2}$），
令y=f（x）-x，則y′=$\frac{{-（lnx+1）}^{2}}{{2x}^{2}}$-1＜0，
∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
∵f（x）-x＞$\frac{1}{e}$-e，
∴f（x）-x＞f（e）-e，
∴0＜x＜e．
故答案為：（0，e）．

點評 本題考查了解不等式與利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，解題的關(guān)鍵的如何確定函數(shù)的解析式．