【題目】已知f(x)=ex﹣ax2﹣2x+b(e為自然對數(shù)的底數(shù),a,b∈R).
(Ⅰ)設(shè)f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明:當a>0時,f′(x)的最小值小于0;
(Ⅱ)若a<0,f(x)>0恒成立,求符合條件的最小整數(shù)b.
【答案】解:(Ⅰ)證明:令g(x)=f'(x)=ex﹣2ax﹣2,則g'(x)=ex﹣2a,
因為a>0,令g'(x0)=0,x0=ln2a,
所以當x∈(﹣∞,ln2a)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
當x∈(ln2a,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增
則f'(x)min=g(x)min=g(ln2a)=eln2a﹣2aln2a﹣2=2a﹣2aln2a﹣2
令G(x)=x﹣xlnx﹣2,(x>0)G'(x)=1﹣(lnx+1)=﹣lnx當x∈(0,1)時,
G'(x)>0,G(x)單調(diào)遞增
當x∈(1,+∞)時,G'(x)<0,G(x)單調(diào)遞減
所以G(x)max=G(1)=﹣1<0,所以f'(x)min<0成立.
(Ⅱ)f(x)>0恒成立,等價于f(x)min>0恒成立
令g(x)=f'(x)=ex﹣2ax﹣2,則g'(x)=ex﹣2a,
因為a<0,所以g'(x)>0,所以g(x)單調(diào)遞增,
又g(0)=﹣1<0,g(1)=e﹣2a﹣2>0,所以存在x0∈(0,1),使得g(x0)=0
則x∈(﹣∞,x0)時,g(x)=f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
x∈(x0 , +∞)時,g(x)=f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
所以f(x)min=f(x0)=ex0﹣ax02﹣2x0+b>0恒成立…(1)
且ex0﹣2ax0﹣2=0…(2)
由(1)(2), 即可
又由(2)a= <0,所以x0∈(0,ln2)
令 +x,x∈(0,ln2)n(x)=m'(x)= +1n'(x)= >0,
所以n(x)>n(0)= >0,所以m(x)單調(diào)遞增,m(x)>m(0)=(﹣1)e0=﹣1, +ln2=2ln2﹣2
所以b>﹣1,所以符合條件的b=0
法2:令x=0,f(0)=1+b>0,b>﹣1,故符合條件的最小整數(shù)b=0.
現(xiàn)證明b=0時,f(x)>0 求f(x)=ex﹣ax2﹣2x的最小值即可
令g(x)=f'(x)=ex﹣2ax﹣2,則g'(x)=ex﹣2a,因為a<0,所以g'(x)>0,所以g(x)單調(diào)遞增,
又g(0)=﹣1<0,g(1)=e﹣2a﹣2>0,所以存在x0∈(0,1),使得g(x0)=0,
則x∈(﹣∞,x0)時,g(x)=f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
x∈(x0 , +∞)時,g(x)=f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
所以f(x)min=f(x0)=ex0﹣ax02﹣2x0 . (1)
且ex0﹣2ax0﹣2=0…(2)
f(x)min=f(x0)=ex0﹣
又由(2)a= <0,所以x0∈(0,ln2))
現(xiàn)在求函數(shù) ﹣x,x∈(0,ln2)的范圍q(x0)=p'(x)= ﹣1,q'(x0)=﹣ <0,
所以q(x)<q(0)=﹣ <0,所以p(x)單調(diào)遞減,p(x)<p(0)=(﹣1)e0=1 ﹣ln2=2﹣ln2>0
所以b=0是符合條件的.
【解析】(Ⅰ)令g(x)=f'(x)=ex﹣2ax﹣2,求出g'(x)=ex﹣2a,判斷導(dǎo)函數(shù)的符號,推出單調(diào)性,求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最小值,再構(gòu)造最小值函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求解最小值函數(shù)的最大值為負值,說明f'(x)min<0成立.(Ⅱ)利用f(x)>0恒成立,等價于f(x)min>0恒成立,構(gòu)造g(x)=f'(x)=ex﹣2ax﹣2,求出導(dǎo)函數(shù)g'(x)=ex﹣2a,判斷單調(diào)性,推出 恒成立且 求出b的表達式,a的表達式,在構(gòu)造函數(shù)令 ,判斷單調(diào)性,求出滿足橢圓的b即可.法2:令x=0,得到符合條件的最小整數(shù)b=0,然后證明b=0時,f(x)>0 求f(x)=ex﹣ax2﹣2x的最小值.令g(x)=f'(x)=ex﹣2ax﹣2,判斷g(x)單調(diào)性,求解函數(shù) ,且 ,在構(gòu)造函數(shù)函數(shù) ,利用函數(shù)的最值,推出b=0是符合條件的.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,若存在,使不等式成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】統(tǒng)計表明某型號汽車在勻速行駛中每小時的耗油量(升)關(guān)于行駛速度(千米/小時)的函數(shù)為 .
(1)當千米/小時時,行駛千米耗油量多少升?
(2)若油箱有升油,則該型號汽車最多行駛多少千米?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓(a>b>0)的離心率,過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點的距離為.
(1)求橢圓的方程.
(2)已知定點E(-1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點.問:是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某籃球隊對籃球運動員的籃球技能進行統(tǒng)計研究,針對籃球運動員在投籃命中時,運動員在籃筐中心的水平距離這項指標,對某運動員進行了若干場次的統(tǒng)計,依據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)依據(jù)頻率分布直方圖估算該運動員投籃命中時,他到籃筐中心的水平距離的中位數(shù);
(Ⅱ)在某場比賽中,考察他前4次投籃命中到籃筐中心的水平距離的情況,并且規(guī)定:運動員投籃命中時,他到籃筐中心的水平距離不少于4米的記1分,否則扣掉1分.用隨機變量X表示第4次投籃后的總分,將頻率視為概率,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】年底某購物網(wǎng)站為了解會員對售后服務(wù)(包括退貨、換貨、維修等)的滿意度,從年下半年的會員中隨機調(diào)查了個會員,得到會員對售后服務(wù)的滿意度評分如下:
根據(jù)會員滿意度評分,將會員的滿意度從低到高分為三個等級:
滿意度評分 | 低于分 | 分到分 | 不低于分 |
滿意度等級 | 不滿意 | 比較滿意 | 非常滿意 |
(1)根據(jù)這個會員的評分,估算該購物網(wǎng)站會員對售后服務(wù)比較滿意和非常滿意的頻率;
(2)以(1)中的頻率作為概率,假設(shè)每個會員的評價結(jié)果相互獨立.
(i)若從下半年的所有會員中隨機選取個會員,求恰好一個評分比較滿意,另一個評分非常滿意的概率;
(ii)若從下半年的所有會員中隨機選取個會員,記評分非常滿意的會員的個數(shù)為,求的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線截以坐標原點為圓心的圓所得的弦長為.
(1)求圓的方程;
(2)若直線與圓切于第一象限,且與坐標軸交于點,,當時,求直線的方程;
(3)設(shè),是圓上任意兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,若直線,分別交軸于點和,問是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某名校從2008年到2017年考入清華、北大的人數(shù)可以通過以下表格反映出來.(為了方便計算,將2008年編號為1,2009年編號為2,以此類推……)
年份 | ||||||||||
人數(shù) |
(1)根據(jù)最近5年的數(shù)據(jù),利用最小二乘法求出與之間的線性回歸方程,并用以預(yù)測2018年該?既肭迦A、北大的人數(shù);(結(jié)果要求四舍五入至個位)
(2)從這10年的數(shù)據(jù)中隨機抽取2年,記其中考入清華、北大的人數(shù)不少于的有年,
求的分布數(shù)列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b=acosC+3bsin(B+C).
(1)若 ,求角A;
(2)在(1)的條件下,若△ABC的面積為 ,求a的值.
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