Question

在x∈[

1

2

，2]上，函數(shù)f（x）=x²+px+q與g（x）=

3x

2

+

3

2x

在同一點(diǎn)取得相同的最小值，那么f（x）在x∈[

1

2

，2]上的最大值是（　�。�

• A、

  13

  4

• B、4
• C、8
• D、

  5

  4

Answer 1

分析：由于兩函數(shù)在同一點(diǎn)出取到相同的最小值，故本題應(yīng)先從g（x）=

3x

2

+

3

2x

的最值上研究，觀察其形式可以看出，可以用基本不等式求最小值，由此得到函數(shù)f（x）=x²+px+q在x∈[

1

2

，2]上的最小值，由此得出參數(shù)p，q的關(guān)系，求出兩個(gè)參數(shù)的值，問題得到求解．

解答：解：∵在x∈[

1

2

，2]上，g（x）=

3x

2

+

3

2x

≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立
∴在x∈[

1

2

，2]上，函數(shù)f（x）=x²+px+q在x=1時(shí)取到最小值3，
∴

- p 2 =1 1+p+q=3

解得p=-2，q=4
∴f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+4，
∴當(dāng)x=2時(shí)取到最大值4
故選B

點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，考查了基本不等式求最值與二次函數(shù)求最值，利用基本不等式求最值要注意等號成立的條件，及相關(guān)兩項(xiàng)的符號．本題中兩個(gè)求最值的方法在高中階段應(yīng)用都很廣泛，注意總結(jié)此兩種求最值方法的規(guī)律．