Question

已知函數(shù)．
（1）若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)，證明：．

Answer 1

 （1）；（2）詳見解析.

試題分析：（1）這是一個(gè)含參不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍的問題，通常方法是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解，或分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，若方便分離參數(shù)又較容易求分離后函數(shù)的最值，還是分離參數(shù)較好，這樣可避免對參數(shù)的討論；（2）這是一個(gè)以函數(shù)的凹凸那條性為背景的一個(gè)不等式的證明問題雙變元問題，可以將其中一個(gè)看成主元，另一個(gè)看成參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值達(dá)到證明的目的.
試題解析：（1）（1）由變形為．
令，則
故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以的最大值只能在或處取得
又，，所以
所以，從而．
（2）∵，∴
設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)．
從而當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024103151414.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．