Question

【題目】如圖所示的幾何體中，底面為菱形， ， ， 與相交于點(diǎn)，四邊形為直角梯形， ， ， ，平面底面.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

(1)利用題意證得平面.由面面垂直的判斷定理可得平面平面.

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論和題意建立空間直角坐標(biāo)系，由平面的法向量可得二面角的余弦值為.

試題解析：

（1）因?yàn)榈酌?/span>為菱形，所以，

又平面底面，平面平面，

因此平面，從而.

又，所以平面，

由， ， ，

可知， ，

， ，

從而，故.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）取中點(diǎn)，由題可知，所以平面，又在菱形中， ，所以分別以， ， 的方向?yàn)?/span>， ， 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖示），

則， ， ， ， ，

所以 ， ， .

由（1）可知平面，所以平面的法向量可取為.

設(shè)平面的法向量為，

則即即令，得，

所以.

從而 .

故所求的二面角的余弦值為.