【題目】平面上有7個(gè)點(diǎn),每三點(diǎn)的兩兩連線都組成一個(gè)不等邊三角形.求證:一定可以找到4對(duì)三角形,使每對(duì)三角形的公共邊既是其中一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊又是另一個(gè)三角形的最短邊.
【答案】見解析
【解析】
記平面上的7個(gè)點(diǎn)為,
,…,
.因?yàn)槊咳c(diǎn)兩兩連線都組成不等邊三角形,故每個(gè)三角形都有最長(zhǎng)邊,也都有最短邊.現(xiàn)將每個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊都染上紅色,剩下的邊染上藍(lán)色,則每一個(gè)三角形都有紅色邊.
下面證明:個(gè)三角形中必有4個(gè)同色三角形.
(1)6階完全圖的邊作二染色,至少有2個(gè)同色三角形.
設(shè)的引線中有
條紅線,
條藍(lán)線,以
為頂點(diǎn)的非同色三角形有
個(gè).
由,知
.
則非同色三角形總計(jì)為.
故同色三角形的個(gè)數(shù)應(yīng)滿足
.
(2)7階完全圖的邊作二染色,至少有4個(gè)同色三角形.
由(1)的證明知,此時(shí),至少有2個(gè)同色三角形.不妨設(shè)其中一個(gè)為,去掉
,對(duì)剩下的6個(gè)點(diǎn)又應(yīng)有2個(gè)同色三角形,且異于
,這就得到3個(gè)同色三角形.
這3個(gè)同色三角形有9個(gè)頂點(diǎn),取自7個(gè)不同的點(diǎn),故至少有2個(gè)頂點(diǎn)重合于某一,去掉
,則去掉了2個(gè)同色三角形,剩下的6個(gè)點(diǎn)又應(yīng)有2個(gè)同色三角形,它們與被去掉的2個(gè)同色三角形是不相同的,故一共有4個(gè)不同的同色三角形.
(3)由于每一個(gè)三角形都有紅邊,這4個(gè)同色三角形必為紅色三角形,每個(gè)紅色三角形的最短邊必為另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊.這就找到了4條連線(每個(gè)紅色三角形的最短邊,即使是兩個(gè)紅色三角形的公共邊也沒有關(guān)系),每一條既是一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊(紅色),又是另一個(gè)三角形(所在紅色三角形)的最短邊.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體中,底面
為菱形,
,
,
與
相交于
點(diǎn),四邊形
為直角梯形,
,
,
,平面
底面
.
(1)證明:平面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某生產(chǎn)基地有五臺(tái)機(jī)器,現(xiàn)有五項(xiàng)工作待完成,每臺(tái)機(jī)器完成每項(xiàng)工作后獲得的效益值如表所示.若每臺(tái)機(jī)器只完成一項(xiàng)工作,且完成五項(xiàng)工作后獲得的效益值總和最大,則下列敘述錯(cuò)誤的的是_____________.
①甲只能承擔(dān)第四項(xiàng)工作
②乙不能承擔(dān)第二項(xiàng)工作
③丙可以不承擔(dān)第三項(xiàng)工作
④丁可以承擔(dān)第三項(xiàng)工作
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知、
、
為大于3的整數(shù),將
的立方體分割為
個(gè)單位正方體,從一角的單位正方體起第
層、第
行、第
列的單位正方體記為
.求所有有序六元數(shù)組
的個(gè)數(shù),使得一只螞蟻從
出發(fā),經(jīng)過每個(gè)小正方體恰一次到達(dá)
.(注)螞蟻可以從一個(gè)單位正方體爬到另一個(gè)與之有公共面的相鄰正方體.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過拋物線的焦點(diǎn)
作直線
與拋物線交于點(diǎn)
、
.
(1)求證:不是直角三角形.
(2)當(dāng)的斜率為
時(shí),拋物線上是否存在點(diǎn)
,使
為直角三角形?若存在,求出所有的點(diǎn)
;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】農(nóng)歷戊戌年即將結(jié)束,為了迎接新年,小康、小梁、小譚、小劉、小林每人寫了一張心愿卡,設(shè)計(jì)了一個(gè)與此心愿卡對(duì)應(yīng)的漂流瓶.現(xiàn)每人隨機(jī)的選擇一個(gè)漂流瓶將心愿卡放入,則事件“至少有兩張心愿卡放入對(duì)應(yīng)的漂流瓶”的概率為___
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將的方格表中的某些小方格染黑,使得不存在由三個(gè)黑色小方格構(gòu)成的
形(共四種情形).求最多有多少個(gè)小方格被染色?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=,
(1)求f(x)的最小值;
(2)對(duì)任意,
都有恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)證明:對(duì)一切,都有
成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)
,
與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,且直線
與圓
相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知過橢圓的左頂點(diǎn)
的兩條直線
,
分別交橢圓
于
,
兩點(diǎn),且
,求證:直線
過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下求面積的最大值.
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