Question

15．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱BC，CC₁，C₁D₁，AA₁的中點，O為AC與BD的交點．求證：
（1）A₁O⊥平面BDF；
（2）平面BDF⊥平面AA₁C．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的判定定理證明DB⊥平面A₁ACC₁ ，證得A₁O⊥DB．再用勾股定理證明A₁O⊥OF，這樣，A₁O就垂直于平面BFD內(nèi)的兩條相交直線，故A₁O⊥平面MBF．
（2）證明BD⊥AO，A₁A⊥BD，利用線面垂直的判定定理證明BD⊥平面A₁AO，從而證得平面BDF⊥平面AA₁C．

解答 證明：（1）連接FO．
∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁．
又A₁O?平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．
在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
tan∠FOC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴∠AA₁O=∠FOC，
則∠A₁OA+∠FOC=90°．∴A₁O⊥OF．
∵OF∩DB=O，∴A₁O⊥平面BDF．
（2）∵O為AC與BD的交點，∴BD⊥AO．再由A₁A⊥平面ABCD可得 A₁A⊥BD．
故BD垂直于平面平面A₁AC中的兩條相交直線AO和A₁A，∴BD⊥平面A₁AC．
而BD?平面BDF，∴平面BDF⊥平面A₁AC．

點評 本題考查證明直線和平面垂直的方法，在其中一個平面內(nèi)找出2條相交直線和另一個平面垂直．