Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1處取得極值，且在點(diǎn)（1，f（1）處的切線的斜率為2．
（Ⅰ）求a，b的值：
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在[，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1處取得極值，且在點(diǎn)（1，f（1）處的切線的斜率為2．我們易得f'（-1）=0，f'（1）=2，由此構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程即可得到答案．
（II）根據(jù)（I）的結(jié)論我們易化簡關(guān)于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0，構(gòu)造函數(shù)g（x）=分析函數(shù)的單調(diào)性后，我們可將關(guān)于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在[，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為不等式問題，解關(guān)于m的不等式組，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1處取得極值，
∴f'（-1）=3a-2b+2=0
又∵在點(diǎn)（1，f（1）處的切線的斜率為2．
f'（1）=3a+2b+2=2
解得a=-，b=
0在（1，2）內(nèi)有根．（6分）
（II）由（I）得方程f（x）+x³-2x²-x+m=0可化為：

令g（x）=
則g'（x）=2x²-3x+1
∵當(dāng)x∈[，2]時(shí)，g'（x）≤0
故g（x）=在[，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
若關(guān)于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在[，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則
解得：
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，其中根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程求出函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．