Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，且f(1)=-

a

2

，3a＞2c＞2b．
（1）求證：a＞0且-3＜

b

a

＜-

3

4

；
（2）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，求|x₁-x₂|的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（1）=a+b+c=-

a

2

，可得c=-

3

2

a-b，結(jié)合3a＞2c＞2b，可得結(jié)論；
（2）利用零點(diǎn)存在定理，證明f（0）×f（2）＜0即可；
（3）|x₁-x₂|²=（x₁ +x₂）²-4x₁x₂=

b2-4ac

|a|

=（

c

a

-

1

2

）²+2≥2，由此可得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵f（1）=a+b+c=-

a

2

，∴c=-

3

2

a-b
∴3a＞2c=-3a-2b，∴3a＞-b，
∵2c＞2b，∴-3a＞4b；
若a＞0，則-3＜

b

a

＜-

3

4

；若a=0，則0＞-b，0＞b，不成立；若a＜0，則-

3

4

＜

b

a

＜-3，不成立．
（2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，f（1）=-

a

2

，△=b²-4ac=b²+4ab+6a²＞0
①當(dāng)c＞0時(shí)，f（0）＞0，f（1）＜0，所以f（x）在（0，1）上至少有一個(gè)零點(diǎn)
②當(dāng)c=0時(shí)，f（0）=0，f（2）=4a+2b=a＞0，所以f（x）在（0，2）上有一個(gè)零點(diǎn)
③當(dāng)c＜0時(shí)，f（0）＜0，f（1）＜0，b=-

3

2

a-c，f（2）=4a-3a-2c+c=a-c＞0，所以f（x）在（0，2）上有一個(gè)零點(diǎn)
綜上：所以f（x）在（0，2）上至少有一個(gè)零點(diǎn)．
（3）c=-

3

2

a-b，（|x₁-x₂|）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=b2-4ac
|a|=（

b

a

+2）²+2
因?yàn)?3＜b/a＜-

3

4

，所以（|x₁-x₂|）²∈[2，

57

16

）
所以|x₁-x₂|∈[

2

，

57

4

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查不等式的證明，屬于中檔題．