Question

已知函數(shù)．
（1）若在定義域上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析

試題分析：（1）將函數(shù)在定義域上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式在定義域上恒成立的問題去處理，并借助參數(shù)分離法求參數(shù)的取值范圍；（2）對的范圍進行分類討論，確定函數(shù)在上的單調(diào)性，進而確定函數(shù)在上的最小值。
試題解析：（1）因為函數(shù)，
所以函數(shù)的定義域為．                          1分
且．                                 2分
若在定義域上是增函數(shù)，
則在上恒成立．                      3分
即在上恒成立，所以．                       4分
由已知，
所以實數(shù)的取值范圍為．                          5分
（2）①若，由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)．
所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．                   6分
②若，由于，
所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)．         7分
（�。┤�，即時，，
函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
所以函數(shù)在的最小值為．                      9分
（ⅱ）若，即時，
函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．              11分
（ⅲ）若，即時，，
函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，
所以函數(shù)在的最小值為．                  13分
綜上所述，當且時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．
當時，函數(shù)在區(qū)間的最小值為．
當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．      14分