Question

8．設(shè)P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≥0}\\{x+2y≥0}\end{array}\right.$，且P點(diǎn)到兩直線x-2y=0，x+2y=0距離之和不大于$\sqrt{5}$，則x-y的最大值為$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 由點(diǎn)到直線的距離公式化簡可得x≤$\frac{5}{2}$，作出其平面區(qū)域，令z=x-y，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：由點(diǎn)到直線的距離公式可得 $\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}+\frac{|x+2y|}{\sqrt{5}}$≤$\sqrt{5}$，
又∵P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≥0}\\{x+2y≥0}\end{array}\right.$，
∴$\frac{x-2y}{\sqrt{5}}+\frac{x+2y}{\sqrt{5}}≤\sqrt{5}$，即x≤$\frac{5}{2}$，
作出其平面區(qū)域如圖，
結(jié)合圖象可知，過點(diǎn)A（$\frac{5}{2}，-\frac{5}{4}$）時有最大值，
即x-y的最大值為$\frac{5}{2}+\frac{5}{4}=\frac{15}{4}$，
故答案為：$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．