Question

3．函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-4x+13}{x-1}$（x∈[2，5]）的值域為[2$\sqrt{10}$-2，9]．

Answer 1

分析 首先將函數(shù)化為：y=（x-1）+$\frac{10}{x-1}$-2，再用基本不等式和雙勾函數(shù)的性質(zhì)求最值．

解答 解：y=f（x）=$\frac{{x}^{2}-4x+13}{x-1}$=$\frac{（x-1）^2-2（x-1）+10}{x-1}$=（x-1）+$\frac{10}{x-1}$-2，
∵x∈[2，5]，∴x-1∈[1，4]，
根據(jù)基本不等式，（x-1）+$\frac{10}{x-1}$≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{10}{x-1}}$=2$\sqrt{10}$，
當(dāng)且僅當(dāng)：（x-1）=$\frac{10}{x-1}$，解得x=$\sqrt{10}$+1∈[2，5]，
所以，y_min=2$\sqrt{10}$-2，
再根據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)，y_max=max{f（2），f（5）}，
其中，f（2）=9，f（5）=$\frac{9}{2}$，所以y_max=9，
所以該函數(shù)的值域為：[2$\sqrt{10}$-2，9]．
故答案為：[2$\sqrt{10}$-2，9]．

點評 本題主要考查了函數(shù)值域的求法，涉及雙勾函數(shù)的性質(zhì)，以及運用基本不等式最值，屬于中檔題．