Question

18．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，且焦點到漸近線的距離為$\sqrt{3}$，則雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{4}-{y^2}$=1
• B． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{12}$=1
• C． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}$=1
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{4}$=1

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線漸近線方程以及焦點到漸近線的距離建立方程關(guān)系求出a，b的值，即可得到結(jié)論．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，即$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2b，
設(shè)雙曲線的一個焦點F（c，0），則焦點到漸近線bx-ay=0的距離d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{bc}{c}$=b，
∵焦點到漸近線的距離為$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{3}$，則a=2$\sqrt{3}$，
則雙曲線的方程為$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}$=1，
故選：C．

點評 本題主要考查雙曲線的方程的求解，根據(jù)雙曲線漸近線方程以及焦點到漸近線的距離建立方程關(guān)系求出a，b的值是解決本題的關(guān)鍵．