Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}+alnx-2$，若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直．
（1）求a值，并解不等式f′（x）＜-6；
（2）若g（x）=f（x）+x-b（b∈R）在[e^-1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，建立方程，即可求a的值；然后解不等式即可．
（2）由（1）和題意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0進(jìn)行求解，即判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由條件和函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義列出不等式組，求出b的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{a}{x}$，
則f′（1）=-2+a，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，
∴切線的斜率為-1，
∴f′（1）=-2+a=-1，∴a=1；
則f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{a}{x}$=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
由f′（x）＜-6；得-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$＜-6；
即-2+x＜-6x²，
即6x²+x-2＜0，即（2x-1）（3x+2）＜0，
即$-\frac{2}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$，即不等式的解集為（$-\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{2}{x}$+lnx-2
則$g（x）=\frac{2}{x}+lnx+x-2-b$，則$g'（x）=\frac{{{x^2}+x-2}}{x^2}$．
由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1．
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）為減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）為增函數(shù)．
又∵函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{g（{e^{-1}}）≥0}\\{g（e）≥0}\\{g（1）＜0}\end{array}}\right.$解得$1＜b≤\frac{2}{e}+e-1$．
∴b的取值范圍是$（1，\frac{2}{e}+e-1]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及幾何意義、函數(shù)零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，注意求出函數(shù)的定義域，考查計(jì)算能力和分析問(wèn)題的能力．