Question

12．在數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1-S_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n，以及前n項和S_n；
（2）若S₁+S₂，S₁+S₃，m（S₂+S₃）成等差數(shù)列，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=S_n+1-S_n=$（\frac{1}{2}）^{n+1}$．可得n≥2時，a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$，n=1時也成立．利用求和公式可得S_n．
（2）由（1）可得：S₁=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{3}{4}$，S₃=$\frac{7}{8}$．根據(jù)S₁+S₂，S₁+S₃，m（S₂+S₃）成等差數(shù)列即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=S_n+1-S_n=$（\frac{1}{2}）^{n+1}$．
∴n≥2時，a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$，又a₁=$\frac{1}{2}$，因此n=1時也成立．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）由（1）可得：S₁=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{3}{4}$，S₃=$\frac{7}{8}$．
∵S₁+S₂，S₁+S₃，m（S₂+S₃）成等差數(shù)列，∴$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$+m（$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{8}$）=2（$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{8}$）．
解得m=$\frac{12}{13}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．