Question

14．如果y=f（x）的定義域為R，對于定義域內(nèi)的任意x，存在實數(shù)a使得f（x+a）=f（-x）成立，則稱此函數(shù)具有“P（a）性質(zhì)”．給出下列命題：
①函數(shù)y=sinx具有“P（a）性質(zhì)”；
②若奇函數(shù)y=f（x）具有“P（2）性質(zhì)”，且f（1）=1，則f（2015）=1；
③若函數(shù)y=f（x）具有“P（4）性質(zhì)”，圖象關(guān)于點（1，0）成中心對稱，且在（-1，0）上單調(diào)遞減，則y=f（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增；
④若不恒為零的函數(shù)y=f（x）同時具有“P（0）性質(zhì)”和“P（3）性質(zhì)”，函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)．
其中正確的是①③④（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

分析 根據(jù)新定義，得出f（x）的周期，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可判斷．

解答 解：①∵sin（x+π）=-sin（x）=sin（-x），
∴函數(shù)y=sinx具有“P（a）性質(zhì)”；故①正確；
②∵若奇函數(shù)y=f（x）具有“P（2）性質(zhì)”，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），∴f（x）=f（2-x）=-f（x-2），
∴f（x+2）=f（x-2），
∴f（x）是周期為4的函數(shù)，
∴f（2015）=f（-1）=-f（1）=-1，故②不正確；
③∵若函數(shù)y=f（x）具有“P（4）性質(zhì)”，
∴f（x+4）=f（-x），∴f（x+2）=f（2-x），
∴f（x）關(guān)于x=2對稱，
∵圖象關(guān)于點（1，0）成中心對稱，
∴f（2-x）=-f（x），即f（2+x）=-f（-x），
又f（x+2）=f（2-x），∴f（x）=f（-x），
∴f（x）為偶函數(shù)，
∵圖象關(guān)于點（1，0）成中心對稱，且在（-1，0）上單調(diào)遞減，
∴圖象也關(guān)于點（-1，0）成中心對稱，且在（-2，-1）上單調(diào)遞減，
根據(jù)偶函數(shù)的對稱得出：在（1，2）上單調(diào)遞增；故③正確；
④∵f（x）具有“P（0）性質(zhì)”和“P（3）性質(zhì)”，
∴f（x）=f（-x），f（x+3）=f（-x）=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)，且周期為3，故④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了對新定義的理解與應(yīng)用，函數(shù)周期性，奇偶性的性質(zhì)，屬于中檔題．