Question

20．以下四個關于圓錐曲線的命題中
①設A，B為兩個定點，k為非零常數，|$\overrightarrow{PA}$|-|$\overrightarrow{PB}$|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
③設定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），則動點P的軌跡為橢圓；
④過點（0，1）作直線，使它與拋物線y²=4x僅有一個公共點，這樣的直線有3條；
其中真命題的序號為②④．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 ①不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離；②正確．方程2x²-5x+2=0的兩根$\frac{1}{2}$和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；③不正確．根據平行四邊形法則，易得P是AB的中點．由此可知P點的軌跡是一個圓；④正確．先看當直線斜率不存在時，聯立方程，再看直線斜率存在時設出直線方程，與拋物線方程聯立有一個交點時求k的值．

解答 解：①不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離．
當點P在頂點AB的延長線上時，K=|AB|，顯然這種曲線是射線，而非雙曲線；
②正確．方程2x²-5x+2=0的兩根分別為$\frac{1}{2}$和2，$\frac{1}{2}$和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
③不正確．根據平行四邊形法則，易得P是AB的中點．根據垂徑定理，
圓心與弦的中點連線垂直于這條弦，設圓心為C，
那么有CP⊥AB即∠CPB恒為直角．由于CA是圓的半徑，是定長，
而∠CPB恒為直角．也就是說，P在以CP為直徑的圓上運動，
∠CPA為直徑所對的圓周角．所以P點的軌跡是一個圓，如圖．
④正確．當直線斜率不存在時，直線的方程為x=0，與拋物線方程聯立求得x=0，y=0，此時直線與拋物線只有一個交點；當直線斜率存在時，設直線方程y=kx+1，與拋物線方程聯立得k²x²+（2k-4）x+1=0，
當k=0時，y=1代入拋物線求得x=1，此時直線與拋物線有一個交點，
當k≠0，要使直線與拋物線只有一個交點需△=（2k-4）²-4k²=0，求得k=1，
綜合可知要使直線與拋物線僅有個公共點，這樣的直線有3條，
故答案為：②④．

點評 本題考查了橢圓，雙曲線，拋物線的定義，及圓錐曲線的共同特征---離心率，考查了學生的靈活把握定義及基礎知識的能了，是中檔題．