Question

9．已知函數(shù)f（x）=-4cos²x+4$\sqrt{3}$asinxcosx+2，若f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{12}$，0）對稱．
（1）求實數(shù)a，并求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{12}$，0）對稱，代入可得：$\sqrt{3}$a-$\sqrt{3}$=0，解得a=1．進(jìn)而化簡函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）由ω=2，可得函數(shù)的周期，當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]時，求出相位角的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=-4cos²x+4$\sqrt{3}$asinxcosx+2=2$\sqrt{3}$asin2x-2cos2x，
∵f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{12}$，0）對稱．
∴$\sqrt{3}$a-$\sqrt{3}$=0，
解得：a=1，
∴函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin2x-2cos2x=4sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：
x∈[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z，
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（2）由（1）中函數(shù)解析式可得ω=2，
故T=π，
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]時，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{6}$時，函數(shù)取最小值-4，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即x=$\frac{π}{6}$時，函數(shù)取最大值2，
故f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的值域為[-4，2]．

點評 本題考查的知識點是正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．