Question

在正項等比數(shù)列{a_n}中，公比q∈（0，1），且滿足a₃=2，a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=25．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，當(dāng)

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

取最大值時，求n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

a1q2=2 a1q+a1q3=5

，由此能求出an=8×(

1

2

)n-1．
（2）b_n=log₂a_n=log2[8×(

1

2

)n-1]=3+1-n=4-n，S_n=4n-（1+2+3+…+n）=

7n-n2

2

，從而

Sn

n

=

7

2

-

n

2

，由此能求出n=6或7時，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

取最大值10.5．

解答： 解：（1）正項等比數(shù)列{a_n}中，公比q∈（0，1），
且滿足a₃=2，a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=25，
∴a₂+a₄=5，
∴

a1q2=2 a1q+a1q3=5

，
解得q=

1

2

，a₁=8，或q=2，a₁=

1

2

（舍），
∴an=8×(

1

2

)n-1．
（2）b_n=log₂a_n=log2[8×(

1

2

)n-1]=3+1-n=4-n，
∴S_n=4n-（1+2+3+…+n）
=4n-

n(n+1)

2

=

7n-n2

2

，
∴

Sn

n

=

7

2

-

n

2

，
∴

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

=

7

2

n-

1

2

(1+2+3+…+n)
=

7

2

n-

n(n+1)

4

=

13n-n2

4

=-

1

4

(n-

13

2

)2+

169

16

，
∴n=6或7時，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

取最大值10.5．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查當(dāng)數(shù)列的前n項和最大時項數(shù)n的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．