Question

如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，將線(xiàn)段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），連接AM并延長(zhǎng)交x軸交于點(diǎn)N（n，0），則區(qū)間（0，1）中實(shí)數(shù)m的像就是n，記作f（m）=n．
（1）f（

1

3

）=

 

；
（2）0＜m＜1時(shí)，f（m）的解析式是f（m）=

 

Answer 1

考點(diǎn)：映射

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)AB圍成圓P，圓P與y軸另一個(gè)交點(diǎn)為C，連接CM．利用Rt△CMA∽R(shí)t△∠NOA，得

CM

NO

=

AM

AO

…①．圓P中利用弧度制定義和直角三角形三角函數(shù)的定義，算出AM、CM關(guān)于m的表達(dá)式，結(jié)合ON=f（m），OA=1，代入①化簡(jiǎn)，即得f（m）與m的函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)AB圍成的圓為圓P，圓P與y軸另一個(gè)交點(diǎn)為C，連接CM
∵AC是圓N的直徑
∴∠CMA=∠NOA=90°
∵∠CAM=∠NAO，
∴△CMA∽△∠NOA，得

CM

NO

=

AM

AO

…①
∵Rt△ACM中，直徑AC=

1

π

，2∠ACM=2πm
∴AM=ACsin∠ACM=

1

π

sinπm，CM=

1

π

cosπm，
而ON=f（m），OA=1，代入①得f（m）與m的函數(shù)關(guān)系式為f（m）=

cosmπ

sinmπ

，m∈（0，1）；
∴f（

1

3

）=

3

3

故答案為：

3

3

；f（m）=

cosmπ

sinmπ

，m∈（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段圍成圓后放入坐標(biāo)系中，求圓的弦所在直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，著重考查了弧度制定義、三角函數(shù)的定義和三角形相似等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．