Question

已知點P（a+1，b+1），Q（1，0）不重合，線段PQ與直線2x-3y+1=0有交點，給出下列命題：
①2a-3b≤0；
②當a≠0時，

b

a

既有最小值又有最大值；
③?M＞0，-

1

9

-b-a²≤M恒成立；
④當a≥0時，4^a＜9^b；
⑤若b＜0，則|

PQ

|取最小值時a=-

6

13

．
其中正確的命題是

 

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：計算題,閱讀型,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由題意知，P，Q兩點在直線的兩側或其中一點在直線l上，故有（2（a+1）-3（b+1）+1）•（2+1）≤0，化簡即可判斷①；
由2a-3b≤0表示的區(qū)域內，討論（a，b）所在象限，即可判斷②；
由2a-3b≤0，運用不等式的性質以及配方，結合二次函數(shù)的最值，即可判斷③；
由2a-3b≤0，借助指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調性，即可判斷④；
運用點（a，b）在第四象限，過點（0，-1）作直線2a-3b=0的垂線，則有垂足和點（0，1）的距離最小，求出垂線方程和已知直線求交點，即可判斷⑤．

解答： 解：對于①，由點P（a+1，b+1），Q（1，0），線段PQ與直線2x-3y+1=0有交點，
則P，Q兩點在直線的兩側或其中一點在直線l上，
即有（2（a+1）-3（b+1）+1）•（2+1）≤0，解得：2a-3b≤0，則①對；
對于②，由①得點R（a，b）在2a-3b≤0表示的區(qū)域內，若R在第一象限內，即有

b

a

≥

2

3

，
若R在第四象限內，即有0≤

b

a

≤

2

3

，若R在第二象限內，則

b

a

＜0，
則當a≠0時，

b

a

沒有最小值也沒有最大值，則②錯；
對于③，由2a-3b≤0可得，-b≤

2

3

a，則有-

1

9

-b-a²≤-

1

9

+

2

3

a-a²=-（a-

1

3

）²≤0＜M，
則③對；
對于④，由2a-3b≤0，即有2a≤3b，即b＞0，當a≥0時，2^2a≤2^3b=8^b＜9^b，則④對；
對于⑤，若b＜0，則|

PQ

|=

a2+(b+1)2

表示點（a，b）與（0，-1）的距離，點（a，b）在第四象限，
過點（0，-1）作直線2a-3b=0的垂線，則有垂足和點（0，1）的距離最小，由2a-3b=0和2b+3a+2=0，
解得a=-

6

13

，則⑤對．
故答案為：①③④⑤．

點評：本題考查不等式表示的平面區(qū)域，考查直線的斜率及方程的求法，以及兩直線垂直的條件，考查二次函數(shù)的最值和指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．