為處理含有某種雜質(zhì)的污水,要制造一底寬為2  m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱.污水從A孔流入,經(jīng)沉淀后從B孔流出.設(shè)箱體的長(zhǎng)度為 a m,高度為b m,如圖所示.已知流出的水中含雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60 m2,問(wèn):當(dāng)a,b各為多少時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小?(A、B兩孔的面積忽略不計(jì))

思路解析:用a、b表示流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù),找到a、b的關(guān)系,建立數(shù)學(xué)模型求最值.

解法一:設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù),則y=,其中k>0,為比例系數(shù).依題意,即所求的a,b值使y值最小.

根據(jù)題設(shè)有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),得b=(0<a<30).                          ①

于是y===

=

=.

當(dāng)a+2=時(shí),取等號(hào),y達(dá)到最小值,這時(shí)a=6,a=-10(舍去).

將a=6代入①式,得b=3.

故當(dāng)a為6 m,b為3 m時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.

解法二:依題意,當(dāng)ab最大時(shí),流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.

由題設(shè)知4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),即a+2b+ab=30(a>0,b>0).

∵a+2b≥2·,

∴2Equation.3+ab≤30,

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí),上式取等號(hào).

設(shè)=t(t>0),則ab=t2.∴t2+2t-30≤0.解得0<t≤3.

∵ab=t2,∴0<ab≤18,

即當(dāng)a=2b時(shí),ab取得最大值,其最大值為18.

∴2b2=18.

解得b=3,a=6.

故當(dāng)a為6 m,b為3 m時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.

評(píng)注:解法一觀察到題目有“已知流出的水中含雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比”,這樣建立函數(shù)關(guān)系y=(k>0),再利用箱體材料60 m2的限制得出4b+2ab+2a=60,這時(shí),在條件4b+2ab+2a=60下,求y的最小值.

解法二是考慮到“已知流出的水中含雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與ab成反比”.那么要求流出水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小,只需求ab的最大值即可.解法二是最優(yōu)解法.


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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,為處理含有某種雜質(zhì)的污水,要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱,污水從A孔流入,經(jīng)沉淀后從B孔流出.設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米,高度為b米.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a,b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問(wèn)當(dāng)a,b各為多少米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

為處理含有某種雜質(zhì)的污水,要制造一個(gè)底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱(如圖),污水從A孔流入,經(jīng)沉淀后從B孔流出,設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米,高度為b米,已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比,現(xiàn)有制箱材料60平方米,問(wèn)當(dāng)ab各為多少米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最。A、B孔的面積忽略不計(jì))?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,為處理含有某種雜質(zhì)的污水,要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱,污水從孔流入,經(jīng)沉淀后從孔流出,設(shè)箱體的長(zhǎng)為米,高為米.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與,的乘積成反比,現(xiàn)有制箱材料60平方米,問(wèn)當(dāng),各為多少米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最。,孔的面積忽略不計(jì)).

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如圖,為處理含有某種雜質(zhì)的污水,要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱。污水從A孔流入,經(jīng)沉淀后從B孔流出。設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米,高度為b米。已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a,b的乘積ab成反比,F(xiàn)有制箱材料60平方米。問(wèn)當(dāng)a,b各為多少米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最。A、B孔的面積忽略不計(jì))。

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