Question

13．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}，它的前n項和是S_n，$a_2^2={a_1}{a_5}$，a₃=5，則$\frac{{{S_n}+49}}{{{a_n}+1}}$取最小值時n=（　�。�

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列通項公式列出方程組，求出首項和公差，從而求出a_n，S_n，利用基本不等式能求出$\frac{{{S_n}+49}}{{{a_n}+1}}$取最小值時n的值．

解答 解：∵公差不為0的等差數(shù)列{a_n}，它的前n項和是S_n，$a_2^2={a_1}{a_5}$，a₃=5，
∴a₃=a₁+2d=5，且（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），
由d≠0，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1，∴${S_n}=\frac{{（{a_1}+{a_n}）n}}{2}={n^2}$，
∴$\frac{{{S_n}+49}}{{{a_n}+1}}=\frac{{{n^2}+49}}{2n}=\frac{1}{2}（n+\frac{49}{n}）≥\frac{1}{2}×2\sqrt{n×\frac{49}{n}}=7$，
∴當n=7的取等號，
故選：B．

點評 本題考查等差數(shù)列關于前n項和與通項公式的代數(shù)式取最小值時項數(shù)n的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質的合理運用．