Question

如圖，已知三角形△ABC與△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，點(diǎn)P，Q分別在線(xiàn)段BD，CD上，沿直線(xiàn)PQ將△PQD向上翻折，使D與A重合．
（Ⅰ）求證：AB⊥CQ；
（Ⅱ）求直線(xiàn)AP與平面ACQ所成的角．

Answer 1

（I）證明：∵面ABC⊥面BCQ
又CQ⊥BC
∴CQ⊥面ABC
∴CQ⊥AB（5分）
（Ⅱ）解：取BC的中點(diǎn)O，BD的中點(diǎn)E，如圖以O(shè)B所在直線(xiàn)為x軸，以O(shè)E所在直線(xiàn)為y軸，以O(shè)A所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．（6分）
不妨設(shè)BC=2，則A（0，0，1），D（-1，2，0），P（x，1-x，0），（8分）
由|AP|=|DP|即x²+（1-x）²+1=（x+1）²+（x+1）²，
解得x=0，所以P（0，1，0），（10分）
故=（0，1，-1）
設(shè)=（x，y，z）為平面ACQ的一個(gè)法向量，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/553.png' />=（-1，0，-1），==λ（0，1，0）
由即
所以=（1，0，-1）（12分）
設(shè)直線(xiàn)AP與平面ACQ所成的角為α
則Sinα=|cos＜AP，n＞|=
所以α=
即直線(xiàn)AP與平面ACQ所成的角為V（14分）
分析：（I）由已知中面ABC⊥面BCQ，及=∠BCD=90°，我們根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，我們易得CQ⊥面ABC，進(jìn)而根據(jù)線(xiàn)面垂直的定義，即可得到AB⊥CQ；
（Ⅱ）以BC的中點(diǎn)O，BD的中點(diǎn)E，如圖以O(shè)B所在直線(xiàn)為x軸，以O(shè)E所在直線(xiàn)為y軸，以O(shè)A所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線(xiàn)AP的方向向量及平面ACQ的法向量，根據(jù)向量法求線(xiàn)面夾角的步驟，即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求直線(xiàn)與平面的夾角，直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)，直線(xiàn)與平面所成的角，熟練掌握空間向量法求線(xiàn)線(xiàn)夾角、線(xiàn)面夾角及兩面角的方法步驟是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．